整體趨勢法是解決遞推數(shù)列最主要的方法,“看趨勢”和“作試探”是整體趨勢法的基本思路。其中,“看趨勢”是指,根據(jù)數(shù)列當(dāng)中數(shù)字的整體變化趨勢初步判斷遞推的具體形式;“作試探”是指根據(jù)初步判斷的趨勢作合理的試探,并分析其誤差。
本文將“看趨勢”和“作試探”進(jìn)行了“套路”化,兼具了通俗易懂和快速操作的特點(diǎn)?!疤茁贰被鞒倘缦拢?/p>
(1)整體遞減,如果有明顯倍數(shù)關(guān)系,做商;沒有明顯倍數(shù)關(guān)系,做差。做商和做差失敗,將該遞減數(shù)列倒過來變?yōu)檎w遞增,轉(zhuǎn)到(2)
(2)整體遞增,計算括號前最大的兩個數(shù)的倍數(shù),如果倍數(shù)小于2,“和”運(yùn)算;接近于方,“方”運(yùn)算;介于兩者之間,積和倍,“乘”運(yùn)算。具體操作為,確定是和、方或是積倍之后,圈數(shù)列中的三個數(shù)(a,b,c),分別使用“+”、“^2”和“×”對圈中的數(shù)字進(jìn)行試探c=a+/×b+/-修正項或者c=a^2+/-修正項或者c=b^2+/-修正項,對于“乘”運(yùn)算,先考慮是否為“積”再考慮“倍”。
例題講解:
(1)1,6,20,56,144,( )(2010年國家公務(wù)員考試行測第41題)
A、256 B、312 C、352 D、384
首先,整體遞增,括號前最大兩個數(shù):56、144,倍數(shù)大于2但小于方,圈(20,56,144)用“×”運(yùn)算找遞推形式,先考慮“積”再考慮“倍”。
對于“積”,20×56遠(yuǎn)大于144,固排除,考慮“倍”,也即如何找到144=56×?+/-?,進(jìn)行嘗試,144=56×2+32,或者144=56×3-24,同樣再往前看,56=20×2+16,或者56=20×3-4,與前面144進(jìn)行綜合,選取×2作為遞推規(guī)律,因此有,20=6×2+8,6=1×2+4,也即從第二項開始,每一項是前一項的兩倍加上修正項,而修正項依次為4,8,16,32,以2為公比的等比數(shù)列,所以括號應(yīng)=144×2+32×2=352。
(2)1,3,5,9,17,31,57,( )(2008年江西公務(wù)員考試行測第35題)
A、105 B、89 C、95 D、135
首先,整體遞增,括號前最大兩個數(shù):31、57,倍數(shù)小于2,圈(17,31,57)用“+”運(yùn)算找遞推形式,即57=31+17+/-?,計算可得,57=31+17+9,而往前看,31=17+9+5,這里的9和5是所圈三數(shù)的前一項,也就是前項型的修正項,所以,括號為31+57+17=105。
(3)3,7,47,2207,( )
A、4870847 B、4870848 C、4870849 D、4870850
首先,整體遞增,括號前最大兩個數(shù):47和2207,倍數(shù)接近于方,圈(7,47,2207)用“方”運(yùn)算找遞推形式,即2207=47^2+/-?,由于數(shù)字較大,所以另選(3,7,47),套形式:47=7^2+/-?計算可得,47=7^2-2且7=3^2-2,驗證2207=27^2-2(用尾數(shù)法),所以,括號為2207^2-2,尾數(shù)法選擇尾數(shù)為7的A。
(4)97,53,29,15,9,5,1,( )
A、1 B、2 C、3 D、4
首先,整體遞減,考慮做差和做商,無明顯倍數(shù)關(guān)系,所以做差,圈(97,53,29),用“-”號套,計算有97-53=44,離29多了15,觀察發(fā)現(xiàn)15為29的下一項,猜測具有這樣的規(guī)律,計算發(fā)現(xiàn)53-29=24,離后一項15剛好相差下一項9,依次用后面的數(shù)字驗證,則9-5=1與1相差的值即為1的下一項,也即括號里的值,所以是3。
本題還可以這樣理解,將數(shù)列倒過來看,變成遞增數(shù)列,考慮括號前最大兩個數(shù):97、53,倍數(shù)小于2,圈(97,53,29)用“+”運(yùn)算找遞推形式,即97=53+29+/-?,計算可得,97=53+29+15,而這里的修正項15為29的下一項,也就是前項型的修正項,所以,9=5+1+( ),所以括號里的值為3。